微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 2 x^{2} - 1$ 。然后使 $d u = 4 x d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 2 x^{2} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $2 x^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $2 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3

将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $2 x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $5$ 代入 $x$ ，将 $4$ 代入 $y$ ，在 $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ 。

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

解题步骤 4.2.2

从 $50$ 中减去 $1$ 。

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

解题步骤 4.2.3

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

解题步骤 4.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$7^{1} + K = 4$

解题步骤 4.2.6

计算指数。

$7 + K = 4$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$K = 4 - 7$

解题步骤 4.3.2

从 $4$ 中减去 $7$ 。

$K = - 3$

解题步骤 5

代入 $- 3$ 替换 $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 3$ 替换 $K$ 。

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$

微积分学 示例

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