微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4

展开 $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

运用分配律。

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4.5

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.4.7

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.5

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

解题步骤 2.3.8

化简。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

解题步骤 4.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

解题步骤 4.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

解题步骤 4.2.5.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$\frac{8}{3} + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $\frac{8}{3}$ 。

$K = - \frac{8}{3}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{8}{3}$ 替换 $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{8}{3}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

微积分学 示例

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