微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{1} = 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{1} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ 和 $\cos (e^{u_{1}})$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{2} = e^{u_{1}}$ 。然后使 $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{2} = e^{u_{1}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $e^{u_{1}}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

解题步骤 2.3.4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}}$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.5

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.7.1

使用 $e^{u_{1}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

计算 $\sin (1)$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $0.0174524$ 。

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.5

用 $0.0174524$ 除以 $4$ 。

$0.0043631 + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $0.0043631$ 。

$K = - 0.0043631$

解题步骤 5

代入 $- 0.0043631$ 替换 $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 0.0043631$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (e^{4 x})$ 。

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$

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