微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

解题步骤 1.2

从 $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\ln (\frac{y}{x})$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $\ln (V) V$ 中的因式重新排序。

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

解题步骤 6.1.1.2

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.2

因数。

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解题步骤 6.1.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

解题步骤 6.1.2.2

从 $V \ln (V) - V$ 中分解出因数 $V$ 。

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解题步骤 6.1.2.2.1

从 $V \ln (V)$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

解题步骤 6.1.2.2.2

从 $- V$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

解题步骤 6.1.2.2.3

从 $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ 。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

解题步骤 6.1.4

约去 $V (\ln (V) - 1)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

解题步骤 6.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

使 $u_{1} = \ln (V)$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ ，以便 $V d u_{1} = d V$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.1.1

设 $u_{1} = \ln (V)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

对 $\ln (V)$ 求导。

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

$\ln (V)$ 对 $V$ 的导数为 $\frac{1}{V}$ 。

$\frac{1}{V}$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

使 $u_{2} = u_{1} - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.2.1

设 $u_{2} = u_{1} - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

对 $u_{1} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

根据加法法则， $u_{1} - 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

解题步骤 6.2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

解题步骤 6.2.2.2.1.4

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.2.2.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2.2.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.2.2.4.1

使用 $u_{1} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4.2

使用 $\ln (V)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 6.3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

解题步骤 6.3.3

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

解题步骤 6.3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

解题步骤 6.3.5

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

将方程重写为 $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ 。

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

解题步骤 6.3.5.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.5.3

化简左边。

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解题步骤 6.3.5.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.5.3.1.2

重写表达式。

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.5.4

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.5.4.1

将 $e^{C} | x |$ 中的因式重新排序。

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

解题步骤 6.3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

解题步骤 6.3.5.4.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

解题步骤 6.3.5.4.4

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

解题步骤 6.3.5.4.5

使用对数的定义将 $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

解题步骤 6.3.5.4.6

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.5.4.6.1

将方程重写为 $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ 。

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

解题步骤 6.3.5.4.6.2

将 $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ 中的因式重新排序。

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

解题步骤 6.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = e^{C | x | + 1}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = e^{C | x | + 1} x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $e^{C | x | + 1} x$ 中的因式重新排序。

$y = x e^{C | x | + 1}$

微积分学 示例

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