微积分学示例

$x y^{2} d y + (x^{2} + 1) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(x^{2} + 1) d x$ 。

$x y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$y^{2} d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y^{2} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 4.3.6

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

解题步骤 5.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

乘以 $3 (- \frac{x^{2}}{2})$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

解题步骤 5.2.2.1.3.1.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

解题步骤 5.2.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

解题步骤 5.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| x |)$ 。

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

解题步骤 5.5

化简 $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ 。

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解题步骤 5.5.1

要将 $- \ln ({| x |}^{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.2

化简项。

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解题步骤 5.5.2.1

组合 $- \ln ({| x |}^{3})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.3

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.1

乘以 $- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 2 \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln ({| x |}^{3})$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.3.2

将 ${({| x |}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.3.3

去掉 ${| x |}^{6}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

解题步骤 5.5.4

要将 $3 C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 5.5.5

组合 $3 C$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

解题步骤 5.5.6

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

解题步骤 5.5.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

解题步骤 5.5.8

将 $\sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 5.5.9

将 $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.5.10

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.10.1

将 $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.5.10.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.5.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.5.10.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 5.5.10.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.5.10.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.5.10.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.5.10.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.5.10.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.10.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.5.10.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.5.10.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 5.5.11

化简分子。

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解题步骤 5.5.11.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 5.5.11.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 5.5.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.5.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

解题步骤 5.5.12.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + C)}}{2}$

微积分学 示例

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