微积分学示例

$d x - (2 + x) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $d x$ 。

$- (2 + x) d y = - d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{2 + x}$ 。

$\frac{1}{2 + x} (- (2 + x)) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.2

约去 $2 + x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{2 + x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$- 1 d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{2 + x}$ 和 $- 1$ 。

$- 1 d y = \frac{- 1}{2 + x} d x$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$- 1 d y = - \frac{1}{2 + x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{2 + x} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u = 2 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u = 2 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $2 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $2 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.2.1.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- y + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简。

$- y + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5

使用 $2 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- y + C_{1} = - \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- y = - \ln (| 2 + x |) + C$

解题步骤 5

将 $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$y = \frac{\ln (| 2 + x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.2

用 $\ln (| 2 + x |)$ 除以 $1$ 。

$y = \ln (| 2 + x |) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 5.3.1.3

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = \ln (| 2 + x |) - 1 \cdot C$

解题步骤 5.3.1.4

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$y = \ln (| 2 + x |) - C$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

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