微积分学示例

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

解题步骤 1

使 $v = f - c$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $f - c$ 。

$\frac{d f}{d t} = y v$

解题步骤 2

通过对 $f - c$ 进行微分求 $\frac{d v}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $f - c$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ 。

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d t} [f]$ 重写为 $f'$ 。

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

解题步骤 2.3

因为 $- c$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- c$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

解题步骤 2.4

将 $f'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d v}{d t} = f'$

解题步骤 3

将导数代回微分方程。

$\frac{d v}{d t} = y v$

解题步骤 4

分离变量。

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解题步骤 4.1

两边同时乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

解题步骤 4.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $y v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

解题步骤 4.3

重写该方程。

$\frac{1}{v} d v = y d t$

解题步骤 5

对两边积分。

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解题步骤 5.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{v}$ 对 $v$ 的积分为 $\ln (| v |)$ 。

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

解题步骤 5.3

对右边积分。

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解题步骤 5.3.1

应用常数不变法则。

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

解题步骤 5.3.2

重新排序项。

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

解题步骤 5.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| v |) = t y + C$

解题步骤 6

求解 $v$ 。

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解题步骤 6.1

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

解题步骤 6.2

使用对数的定义将 $\ln (| v |) = t y + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{t y + C} = | v |$

解题步骤 6.3

求解 $v$ 。

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解题步骤 6.3.1

将方程重写为 $| v | = e^{t y + C}$ 。

$| v | = e^{t y + C}$

解题步骤 6.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$v = \pm e^{t y + C}$

解题步骤 7

将常数项组合在一起。

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解题步骤 7.1

将 $e^{t y + C}$ 重写为 $e^{t y} e^{C}$ 。

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

解题步骤 7.2

将 $e^{t y}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

解题步骤 7.3

用加号或减号合并常数。

$v = C e^{t y}$

解题步骤 8

使用 $f - c$ 替换所有出现的 $v$ 。

$f - c = C e^{t y}$

解题步骤 9

在等式两边都加上 $c$ 。

$f = C e^{t y} + c$

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