微积分学示例

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s v + s}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $s v + s$ 中分解出因数 $s$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $s v$ 中分解出因数 $s$ 。

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s}$

解题步骤 1.1.2

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s^{1}}$

解题步骤 1.1.3

从 $s^{1}$ 中分解出因数 $s$ 。

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s \cdot 1}$

解题步骤 1.1.4

从 $s (v) + s \cdot 1$ 中分解出因数 $s$ 。

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $v + 1$ 。

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) (\frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{s + 1}{s}$ 乘以 $\frac{1}{v + 1}$ 。

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

解题步骤 1.4.2

约去 $v + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $s (v + 1)$ 中分解出因数 $v + 1$ 。

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$(v + 1) d v = \frac{s + 1}{s} d s$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int v + 1 d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int v d v + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $v$ 对 $v$ 的积分是 $\frac{1}{2} v^{2}$ 。

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + v + C_{2} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} + \frac{1}{s} d s$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

解题步骤 2.3.3

约去 $s$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

解题步骤 2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int d s + \int \frac{1}{s} d s$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \int \frac{1}{s} d s$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{s}$ 对 $s$ 的积分为 $\ln (| s |)$ 。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \ln (| s |) + C_{5}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + \ln (| s |) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} v^{2} + v = s + \ln (| s |) + C$

微积分学 示例

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