微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

解题步骤 1.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

解题步骤 1.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $y e^{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

解题步骤 2.3.2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ 。

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{2 e^{x} + C}$ 重写为 $e^{2 e^{x}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{2 e^{x}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{2 e^{x}}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $4$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{2 e^{x}}$ 中求 $C$ 的值。

$4 = C e^{2 e^{0}}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{2 e^{0}} = 4$ 。

$C e^{2 e^{0}} = 4$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$C e^{2} = 4$

解题步骤 6.3

将 $C e^{2} = 4$ 中的每一项除以 $e^{2}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $C e^{2} = 4$ 中的每一项都除以 $e^{2}$ 。

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $e^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{4}{e^{2}}$

解题步骤 7

代入 $\frac{4}{e^{2}}$ 替换 $y = C e^{2 e^{x}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $\frac{4}{e^{2}}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{4}{e^{2}}$ 和 $e^{2 e^{x}}$ 。

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

解题步骤 7.3

约去 $e^{2 e^{x}}$ 和 $e^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $4 e^{2 e^{x}}$ 中分解出因数 $e^{2}$ 。

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

解题步骤 7.3.2.4

用 $4 e^{2 e^{x} - 2}$ 除以 $1$ 。

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$

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