微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + y = \tan (x)$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = \tan (x)$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \tan (x) d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int \tan (x) d x$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$x y = \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 6

将 $x y = \ln (| \sec (x) |) + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $x y = \ln (| \sec (x) |) + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (| \sec (x) |)}{x} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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