微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- y}}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

解题步骤 1.2

约去 $e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{- y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{- y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2.2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = \frac{t}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{3} d t$ ，以便 $3 d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = \frac{t}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $\frac{t}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t}{3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

解题步骤 2.3.2.3

将 $3$ 移到 $\sin (u)$ 的左侧。

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $\frac{t}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

解题步骤 3.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

微积分学 示例

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