微积分学示例

$2 x y y' = x^{2} + 2 y^{2}$

解题步骤 1

重写微分方程。

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$

解题步骤 2

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 2.1

将 $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ 中的每一项除以 $2 x y$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

将 $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ 中的每一项都除以 $2 x y$ 。

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.1.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

解题步骤 2.1.3.1.3

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.3.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

解题步骤 2.1.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.3.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

解题步骤 2.1.3.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

解题步骤 2.1.3.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

解题步骤 2.2

将微分方程重写为 $f (\frac{y}{x})$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中因式分解出 $\frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中分解出因数 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

解题步骤 3

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

解题步骤 4

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 5

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 6

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

分离变量。

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解题步骤 7.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

解题步骤 7.1.1.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{V}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

解题步骤 7.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

解题步骤 7.1.1.2.2

合并 $\frac{1}{2 V} + V - V$ 中相反的项。

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解题步骤 7.1.1.2.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

解题步骤 7.1.1.2.2.2

将 $\frac{1}{2 V}$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

解题步骤 7.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 7.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

将 $\frac{1}{2 V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

解题步骤 7.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 7.1.3

两边同时乘以 $2 V$ 。

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 7.1.4

化简。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $\frac{1}{2 V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

解题步骤 7.1.4.2

约去 $2 V$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.2.1

从 $2 V x$ 中分解出因数 $2 V$ 。

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

解题步骤 7.1.4.2.2

约去公因数。

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

解题步骤 7.1.4.2.3

重写表达式。

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 7.1.5

重写该方程。

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2

对两边积分。

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解题步骤 7.2.1

在两边建立积分。

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2

对左边积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $2$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.2

根据幂法则， $V$ 对 $V$ 的积分是 $\frac{1}{2} V^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3

化简答案。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ 。

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3.2

化简。

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解题步骤 7.2.2.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3.2.2.2

重写表达式。

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3.2.3

将 $V^{2}$ 乘以 $1$ 。

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 7.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

解题步骤 7.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 7.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.3.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.3.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.3.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。