微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$\frac{d v}{d x} - v = 0$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- x + C_{1}}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} \cdot 0$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $e^{- x}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 0$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 0$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 0 d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- x} v = \int 0 d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$e^{- x} v = 0 + C_{2}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 和 $C_{2}$ 相加。

$e^{- x} v = C_{2}$

解题步骤 8

将 $e^{- x} v = C_{2}$ 中的每一项除以 $e^{- x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- x} v = C_{2}$ 中的每一项都除以 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

解题步骤 9

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

解题步骤 10

重写该方程。

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

解题步骤 11

对两边积分。

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解题步骤 11.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

解题步骤 11.2

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

解题步骤 11.3

对右边积分。

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解题步骤 11.3.1

由于 $C_{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- x}} d x$

解题步骤 11.3.2

化简表达式。

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解题步骤 11.3.2.1

将 $e^{- x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- x})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.3.2.2

化简。

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解题步骤 11.3.2.2.1

将 ${(e^{- x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.3.2.2.1.2

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 11.3.2.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{1 x} d x$

解题步骤 11.3.2.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x} d x$

解题步骤 11.3.2.2.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{x} d x$

解题步骤 11.3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$y + C_{3} = C_{2} (e^{x} + C_{4})$

解题步骤 11.3.4

化简。

$y + C_{3} = C_{2} e^{x} + C_{5}$

解题步骤 11.3.5

重新排序项。

$y + C_{3} = e^{x} C_{2} + C_{5}$

解题步骤 11.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = e^{x} C + D$

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