微积分学示例

$x^{2} + 3 y \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$3 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

解题步骤 1.1.2

将 $3 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ 中的每一项除以 $3 y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $3 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 y$ 。

$\frac{3 y \frac{d y}{d x}}{3 y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y \frac{d y}{d x}}{3 y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{2}}{3 y})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{3 y}$

解题步骤 1.3.2.2

从 $3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 3}$

解题步骤 1.3.2.3

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 3}$

解题步骤 1.3.2.4

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y d y = - \frac{x^{2}}{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{3} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{9} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{9} x^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{9} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

乘以 $2 (- \frac{x^{3}}{9})$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = - 2 \frac{x^{3}}{9} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{3}}{9}$ 。

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{9} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $- \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $- \frac{2 x^{3}}{9}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9} + K)}$

解题步骤 3.4.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

解题步骤 3.4.3

化简项。

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解题步骤 3.4.3.1

组合 $K$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

解题步骤 3.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- x^{3} + K \cdot 9}{9}}$

解题步骤 3.4.4

将 $9$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- x^{3} + 9 K}{9}}$

解题步骤 3.4.5

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{3} + 9 K}{9}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 9 K)}{9}}$

解题步骤 3.4.6

将 $\frac{2 (- x^{3} + 9 K)}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

从 $2 (- x^{3} + 9 K)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}{9}}$

解题步骤 3.4.6.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.4.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}$

解题步骤 3.4.7

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}$

解题步骤 3.4.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + K)}}{3}$

微积分学 示例

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