微积分学示例

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(1 + e^{2 x}) d x$ 。

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{x}}$ 。

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

解题步骤 3.2

约去 $e^{x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{e^{x}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $e^{x} y^{2}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

解题步骤 3.6

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{e^{x}}$ 。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

解题步骤 3.7

约去 $e^{2 x}$ 和 $e^{x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

从 $e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

解题步骤 3.7.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1

乘以 $1$ 。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

解题步骤 3.7.2.2

约去公因数。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

解题步骤 3.7.2.3

重写表达式。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

解题步骤 3.7.2.4

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.3

将 $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ 重写为 $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.2.1

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.3.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.3.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.4

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.3.4.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.6.2

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

解题步骤 4.3.9

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

解题步骤 4.3.10

化简。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

解题步骤 4.3.11

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $- 3$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

化简 $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.1

将 $- \frac{y^{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3

约去公因数。

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.2.4

重写表达式。

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.3

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.3.2

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

化简 $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

解题步骤 5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

解题步骤 5.4

从 $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

从 $- 3 e^{- x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

解题步骤 5.4.2

从 $3 e^{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

解题步骤 5.4.3

从 $- 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

解题步骤 5.4.4

从 $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

解题步骤 5.4.5

从 $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$

微积分学 示例

微积分学示例