微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x + 3}$ , $y (- 1) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y - 1}$ 。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

解题步骤 1.2

约去 $y - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = x + 3$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = x + 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y - 1 |) = \ln (| x + 3 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| x + 3 |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$ 。

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 $| x + 3 |$ 。

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1

约去 $| x + 3 |$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$| y - 1 | = e^{C} | x + 3 |$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.4.1

将 $e^{C} | x + 3 |$ 中的因式重新排序。

$| y - 1 | = | x + 3 | e^{C}$

解题步骤 3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y - 1 = \pm | x + 3 | e^{C}$

解题步骤 3.5.4.3

将 $\pm | x + 3 | e^{C}$ 中的因式重新排序。

$y - 1 = \pm e^{C} | x + 3 |$

解题步骤 3.5.4.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \pm e^{C} | x + 3 | + 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm C | x + 3 | + 1$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = C | x + 3 | + 1$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $- 1$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = C | x + 3 | + 1$ 中求 $C$ 的值。

$0 = C | - 1 + 3 | + 1$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将方程重写为 $C | - 1 + 3 | + 1 = 0$ 。

$C | - 1 + 3 | + 1 = 0$

解题步骤 6.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$C | 2 | + 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$C \cdot 2 + 1 = 0$

解题步骤 6.2.3

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$2 C + 1 = 0$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 C = - 1$

解题步骤 6.4

将 $2 C = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

将 $2 C = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$C = - \frac{1}{2}$

解题步骤 7

代入 $- \frac{1}{2}$ 替换 $y = C | x + 3 | + 1$ 中的 $C$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

代入 $- \frac{1}{2}$ 替换 $C$ 。

$y = - \frac{1}{2} | x + 3 | + 1$

解题步骤 7.2

组合 $| x + 3 |$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + 1$

解题步骤 7.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + \frac{2}{2}$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- | x + 3 | + 2}{2}$

微积分学 示例

微积分学示例