微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 2 x) + 1$

解题步骤 1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = 3 y + 3 (2 x) + 1$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 3 (2 x) + 1$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 \cdot 3 x + 1$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 3$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 3 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 3 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 3 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = 6 \int x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.4.3

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.6.2

将 $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.8

使 $u_{1} = - 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 3 d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.8.1

设 $u_{1} = - 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.8.1.1

对 $- 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 7.8.1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 7.8.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 7.8.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.9.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.10

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.11

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.12

化简。

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解题步骤 7.12.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.12.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.13

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 3 x} d x$

解题步骤 7.14

使 $u_{2} = - 3 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 3 d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.14.1

设 $u_{2} = - 3 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.14.1.1

对 $- 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 7.14.1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 7.14.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 7.14.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

解题步骤 7.15

化简。

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解题步骤 7.15.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

解题步骤 7.15.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

解题步骤 7.16

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

解题步骤 7.17

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7.18

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 7.19

化简。

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解题步骤 7.19.1

化简。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.19.2

化简。

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解题步骤 7.19.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.19.2.2

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{x}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.19.2.3

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.20

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 7.20.1

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.20.2

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

解题步骤 7.21

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

解题步骤 7.22

重新排序项。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

乘以 $- \frac{1}{3} (e^{- 3 x} x)$ 。

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解题步骤 8.1.1.1.1

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.1.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.1.2

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.2

运用分配律。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $- \frac{x e^{- 3 x}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{- 3 x} y = 6 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{- 3 x} y = 3 (2) \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.3.3

约去公因数。

$e^{- 3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.3.4

重写表达式。

$e^{- 3 x} y = 2 (- x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.5.1

将 $- \frac{e^{- 3 x}}{9}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.5.3

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.5.4

约去公因数。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.5.5

重写表达式。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.6

组合 $2$ 和 $\frac{- e^{- 3 x}}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{2 (- e^{- 3 x})}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.8

将负号移到分数的前面。

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.9

要将 $- 2 x e^{- 3 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.10

组合 $- 2 x e^{- 3 x}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.11

在公分母上合并分子。

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.12

化简分子。

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解题步骤 8.1.12.1

从 $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $2 e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 8.1.12.1.1

从 $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ 中分解出因数 $2 e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.12.1.2

从 $- 2 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $2 e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.12.1.3

从 $2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)$ 中分解出因数 $2 e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3 - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.12.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 3 x - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.13

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.14

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1 (1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.15

从 $- (3 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.16

将 $- (3 x + 1)$ 重写为 $- 1 (3 x + 1)$ 。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 1 (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.17

将负号移到分数的前面。

$e^{- 3 x} y = - \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.18

将 $- \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

解题步骤 8.1.19

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 3 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 3 x}$ 。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{- 3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

合并分数。

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解题步骤 8.2.3.1.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x + 1) - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x) - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.2.3.3.1

从 $- 2 e^{- 3 x}$ 中减去 $e^{- 3 x}$ 。

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.3.2

将 $- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{C + \frac{- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.4.1

从 $- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 8.2.3.4.1.1

从 $- 6 x e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.1.2

从 $- 3 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.1.3

从 $3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)$ 中分解出因数 $3 e^{- 3 x}$ 。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.4.2.1

约去公因数。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.2.2

用 $e^{- 3 x} (- 2 x - 1)$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.3

运用分配律。

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- 3 x}$ 的左侧。

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.6

将 $- 1 e^{- 3 x}$ 重写为 $- e^{- 3 x}$ 。

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 8.2.3.5

将 $C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{C - 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

微积分学 示例

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