微积分学示例

$y - x \frac{d y}{d x} = 8 x^{3}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

重新排序项。

$- x \frac{d y}{d x} + y = 8 x^{3}$

解题步骤 1.2

将 $- x \frac{d y}{d x} + y = 8 x^{3}$ 中的每一项都除以 $- x$ 。

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

解题步骤 1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

解题步骤 1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

解题步骤 1.4.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

解题步骤 1.5

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $8 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x (8 x^{2})}{- x}$

解题步骤 1.5.2

移动 $\frac{8 x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot (8 x^{2})$

解题步骤 1.6

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 8 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.7

从 $\frac{y}{- x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 8 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.8

将 $y$ 和 $\frac{1}{- x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 8 \cdot x^{2}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{- x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{1}{- x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

解题步骤 2.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.4

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.2

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.5

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 8 \frac{1}{x} x^{2}$

解题步骤 3.4

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 8}{x} x^{2}$

解题步骤 3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 8}{x} (x \cdot x)$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 8}{x} (x \cdot x)$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 8 x$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 8 x$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 8 x d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x} y = \int - 8 x d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$\frac{1}{x} y = - 8 \int x d x$

解题步骤 7.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 7.3

化简答案。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$\frac{1}{x} y = - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2

化简。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = \frac{- 8}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.2

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x} y = \frac{- 4}{1} x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{x} y = - 4 x^{2} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x} = - 4 x^{2} + C$

解题步骤 8.2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (- 4 x^{2} + C) x$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (- 4 x^{2} + C) x$

解题步骤 8.3.1.1.2

重写表达式。

$y = (- 4 x^{2} + C) x$

解题步骤 8.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.2.1

化简 $(- 4 x^{2} + C) x$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

运用分配律。

$y = - 4 x^{2} x + C x$

解题步骤 8.3.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = - 4 (x \cdot x^{2}) + C x$

解题步骤 8.3.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - 4 (x^{1} x^{2}) + C x$

解题步骤 8.3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - 4 x^{1 + 2} + C x$

解题步骤 8.3.2.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - 4 x^{3} + C x$

微积分学 示例

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