微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

解题步骤 2.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $t$ ，将 $4$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ 。

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} + K = 4$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{4}{3}$ 。

$K = 4 - \frac{4}{3}$

解题步骤 4.3.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 4.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$K = \frac{12 - 4}{3}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$K = \frac{8}{3}$

解题步骤 5

代入 $\frac{8}{3}$ 替换 $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{8}{3}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$

微积分学 示例

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