微积分学示例

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ 中的每一项除以 $N$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ 中的每一项都除以 $N$ 。

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

约去 $N$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d N}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

约去 $N$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

约去公因数。

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

解题步骤 1.1.3.1.2

用 $t e^{t + 2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d N = t e^{t + 2} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{t + 2}$ 。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = t + 2$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

设 $u = t + 2$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

对 $t + 2$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $t + 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

使用 $t + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$

微积分学 示例

微积分学示例