微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{- \frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将 $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ 重写为 $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $- 1$ 代入 $x$ ，将 $- 5$ 代入 $y$ ，在 $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将方程重写为 $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ 。

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

解题步骤 4.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

解题步骤 4.2.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

解题步骤 4.2.4

计算指数。

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

解题步骤 4.2.5

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 9 + K = - 5$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$K = - 5 + 9$

解题步骤 4.3.2

将 $- 5$ 和 $9$ 相加。

$K = 4$

解题步骤 5

代入 $4$ 替换 $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

代入 $4$ 替换 $K$ 。

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$

微积分学 示例

微积分学示例