微积分学示例

$\frac{d u}{d t} = 6 + 6 u + t + t u$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d u}{d t} = (6 + 6 u) + t + t u$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d u}{d t} = 6 (1 + u) + t \cdot (1 + u)$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $1 + u$ 来因式分解多项式。

$\frac{d u}{d t} = (1 + u) (6 + t)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + u}$ 。

$\frac{1}{1 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 + u} ((1 + u) (6 + t))$

解题步骤 1.3

约去 $1 + u$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 + u} ((1 + u) (6 + t))$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + u} \frac{d u}{d t} = 6 + t$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{1 + u} d u = (6 + t) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + u} d u = \int 6 + t d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 1 + u$ 。然后使 $d u_{1} = d u$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 1 + u$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d u}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $1 + u$ 求导。

$\frac{d}{d u} [1 + u]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + u$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u]$ 。

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [u]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int 6 + t d t$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int 6 + t d t$

解题步骤 2.2.3

使用 $1 + u$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = \int 6 + t d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = \int 6 d t + \int t d t$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = 6 t + C_{2} + \int t d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = 6 t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = 6 t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$\ln (| 1 + u |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 6 t + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| 1 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 6 t + C$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $u$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 1 + u |)} = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 6 t + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| 1 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 6 t + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{2} t^{2} + 6 t + C} = | 1 + u |$

解题步骤 3.3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| 1 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 6 t + C}$ 。

$| 1 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 6 t + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$| 1 + u | = e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 + u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t + C}$

解题步骤 3.3.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t + C} - 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t + C}$ 重写为 $e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t} e^{C}$ 。

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t} e^{C} - 1$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$u = \pm e^{C} e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t} - 1$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$u = C e^{\frac{t^{2}}{2} + 6 t} - 1$

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