微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (y - 3)$ , $y (0) = 6$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y - 3}$ 。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (x^{3} (y - 3))$

解题步骤 1.2

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3} (y - 3)$ 中分解出因数 $y - 3$ 。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y - 3} d y = x^{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y - 3$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y - 3$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y - 3$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y - 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y - 3 |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ 。

$| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$| y - 3 | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y - 3 = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

解题步骤 3.3.4

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C} + 3$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ 重写为 $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C} + 3$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $6$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ 中求 $C$ 的值。

$6 = C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$ 。

$C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$C e^{\frac{0}{4}} + 3 = 6$

解题步骤 6.2.2

用 $0$ 除以 $4$ 。

$C e^{0} + 3 = 6$

解题步骤 6.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$C \cdot 1 + 3 = 6$

解题步骤 6.2.4

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$C + 3 = 6$

解题步骤 6.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$C = 6 - 3$

解题步骤 6.3.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$C = 3$

解题步骤 7

代入 $3$ 替换 $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $3$ 替换 $C$ 。

$y = 3 e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

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