微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = x$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int x d x}$

解题步骤 1.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

解题步骤 1.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 x)$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

解题步骤 2.3

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ 中的因式重新排序。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 \int x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 6.2

使 $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$ ，以便 $\frac{1}{x e^{\frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.1

设 $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}}]$

解题步骤 6.2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 6.2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 6.2.1.2.3

使用 $\frac{x^{2}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 6.2.1.3

求微分。

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解题步骤 6.2.1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6.2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

解题步骤 6.2.1.3.4

化简项。

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解题步骤 6.2.1.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

解题步骤 6.2.1.3.4.2

组合 $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

解题步骤 6.2.1.3.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.4.3.1

约去公因数。

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

解题步骤 6.2.1.3.4.3.2

用 $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

解题步骤 6.2.1.3.4.4

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ 中的因式重新排序。

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 6.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 \int d u_{2}$

解题步骤 6.3

应用常数不变法则。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 (u_{2} + C)$

解题步骤 6.4

化简答案。

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解题步骤 6.4.1

化简。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 u_{2} + C$

解题步骤 6.4.2

使用 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

解题步骤 6.4.3

重新排序项。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

解题步骤 7

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ 中的每一项除以 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 和 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

从 $3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.4

用 $3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y = 3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.2.1

从 $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1.1

从 $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2.1.3

从 $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$y = 3 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $0$ 。

$y = 3 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$y = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$y = 3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y = 3 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

微积分学 示例

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