微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + x = y$

解题步骤 1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + x - y = 0$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} - y = - x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x$

解题步骤 3.4

将 $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x e^{- x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x e^{- x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x e^{- x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - \int x e^{- x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 7.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 7.4.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 7.5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 7.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

解题步骤 7.8

将 $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ 重写为 $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ 。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

解题步骤 7.9

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

解题步骤 7.10

化简。

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解题步骤 7.10.1

运用分配律。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

解题步骤 7.10.2

乘以 $- (- x e^{- x})$ 。

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解题步骤 7.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

解题步骤 7.10.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

解题步骤 7.10.3

乘以 $- - e^{- x}$ 。

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解题步骤 7.10.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

解题步骤 7.10.3.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$y = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

重写表达式。

$y = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

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