微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = 6 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (6 t + 6 t^{2}) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 6 t + 6 t^{2} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 6 t + 6 t^{2} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 6 t d t + \int 6 t^{2} d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

解题步骤 2.3.4

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{6}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{3}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = 3 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3

组合 $6$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = 3 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 3 t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 2 t^{3} + 3 t^{2} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $t$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = 2 t^{3} + 3 t^{2} + K$ 中求 $K$ 的值。

$3 = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$ 。

$2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2

化简 $2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$2 + 3 \cdot 1 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 + 3 + K = 3$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$5 + K = 3$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$K = 3 - 5$

解题步骤 4.3.2

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$K = - 2$

解题步骤 5

代入 $- 2$ 替换 $y = 2 t^{3} + 3 t^{2} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 2$ 替换 $K$ 。

$y = 2 t^{3} + 3 t^{2} - 2$

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