微积分学示例

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x y^{2} - y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x y^{2} - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d y} [- y]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

解题步骤 3.2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.2.1

从 $3 x^{2} y - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $3 x^{2} y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

解题步骤 3.2.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

解题步骤 3.2.1.3

从 $x (3 x y) + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 3 x y - 4$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $3 x y - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.2

因为 $3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y$ 对 $x$ 的导数是 $3 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $3 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.6.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

解题步骤 3.4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $3 x y - 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

解题步骤 3.4.8.2

将 $3 x y$ 和 $3 x y$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{6}{2}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.3

组合 $\frac{x \cdot 6}{2}$ 和 $y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.4

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.5

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.5.1

从 $6 x y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.5.2.4

用 $3 x y$ 除以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

解题步骤 3.5.2.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.5.2.7

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.7.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

解题步骤 3.5.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

解题步骤 3.5.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 3.5.2.7.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 x y - 1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 x y - 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $3 x y - 2$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $2 x y - 1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $x y^{2} - y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x y^{2} - y$ 替换 $M$ 。

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

解题步骤 5.3.2.4

从 $3 x y$ 中减去 $2 x y$ 。

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

解题步骤 5.3.2.5

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

解题步骤 5.3.2.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

解题步骤 5.3.3

从 $x y^{2} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $y (x y) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

解题步骤 5.3.4

代入 $x y^{2} - y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

解题步骤 6.2

化简答案。

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解题步骤 6.2.1

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | y | + C$

解题步骤 7

在 $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $y$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x y^{2} - y$ 乘以 $y$ 。

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.3

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.3.1

移动 $y$ 。

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.3.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.4.1

移动 $y$ 。

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ 乘以 $y$ 。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

解题步骤 7.6

从 $3 x^{2} y - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.6.1

从 $3 x^{2} y$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

解题步骤 7.6.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

解题步骤 7.6.3

从 $x (3 x y) + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

解题步骤 7.7

组合 $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ 和 $y$ 。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

解题步骤 7.8

将 $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ 中的因式重新排序。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $\frac{x}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{x}{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

解题步骤 9.2

展开 $y (3 x y - 4)$ 。

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解题步骤 9.2.1

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

解题步骤 9.2.2

移动括号。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

解题步骤 9.2.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

解题步骤 9.2.4

将 $y$ 和 $3$ 重新排序。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

解题步骤 9.2.5

将 $y$ 和 $- 4$ 重新排序。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

解题步骤 9.3.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

解题步骤 9.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

解题步骤 9.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

解题步骤 9.4

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

解题步骤 9.5

由于 $3 x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3 x$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

解题步骤 9.6

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

解题步骤 9.7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

解题步骤 9.8

由于 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

解题步骤 9.9

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

解题步骤 9.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

解题步骤 9.11

化简。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

解题步骤 9.12

重新排序项。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ 。

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解题步骤 12.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{x}{2}$ 且 $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ 。

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.3

根据加法法则， $x y^{3} - 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ 。

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.4

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.6

因为 $- 2 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.7

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.9

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.10

将 $y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.11

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.12

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.13

要将 $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.14

组合 $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.16

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.17.1

约去公因数。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.17.2

重写表达式。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.18

将 $x y^{3} - 2 y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.3.19

将 $x y^{3}$ 和 $x y^{3}$ 相加。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

合并项。

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解题步骤 12.5.1.1

要将 $\frac{d g}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.2

组合 $\frac{d g}{d x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.4

将 $2$ 移到 $\frac{d g}{d x}$ 的左侧。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5

约去 $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.1.5.1

从 $2 x y^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.2

从 $- 2 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.3

从 $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.4

从 $2 \frac{d g}{d x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.5

从 $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.6

约去公因数。

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解题步骤 12.5.1.5.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.6.3

重写表达式。

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.1.5.6.4

用 $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ 除以 $1$ 。

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 12.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

在等式两边都加上 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

解题步骤 13.1.2

从等式两边同时减去 $y^{3} x$ 。

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

解题步骤 13.1.3

合并 $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.3.1

将 $- y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

解题步骤 13.1.3.2

将 $x y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

解题步骤 13.1.3.3

按照 $x y^{3}$ 和 $- y^{3} x$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

解题步骤 13.1.3.4

从 $y^{3} x$ 中减去 $y^{3} x$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 14

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 14.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 14.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16

化简每一项。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.3

乘以 $\frac{x}{2} (x y^{3})$ 。

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解题步骤 16.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.3.6

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

解题步骤 16.4

使用乘法的交换性质重写。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

解题步骤 16.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

解题步骤 16.5.2

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

解题步骤 16.5.3

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$

微积分学 示例

微积分学示例