微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt[7]{t}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = k \sqrt[7]{t} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int k \sqrt[7]{t} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int k \sqrt[7]{t} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $k$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $k$ 移到积分外。

$y + C_{1} = k \int \sqrt[7]{t} d t$

解题步骤 2.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{7}}$ 。

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{7}} d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t^{\frac{1}{7}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}}$ 。

$y + C_{1} = k (\frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $k (\frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} + C_{2})$ 重写为 $k \frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = k \frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

组合 $k$ 和 $\frac{7}{8}$ 。

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 7}{8} t^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

将 $7$ 移到 $k$ 的左侧。

$y + C_{1} = \frac{7 \cdot k}{8} t^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.3

组合 $\frac{7 k}{8}$ 和 $t^{\frac{8}{7}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{7 k t^{\frac{8}{7}}}{8} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{7}{8} k t^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} k + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} k + K$

微积分学 示例

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