微积分学示例

$(x + y + 6) d x + (x - y - 3) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x + y + 6$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y + 6]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x + y + 6$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

解题步骤 1.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [6]$

解题步骤 1.5

因为 $6$ 对于 $y$ 是常数，所以 $6$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

解题步骤 1.6

合并项。

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解题步骤 1.6.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x - y - 3$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y - 3]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x - y - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.4

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

解题步骤 2.6

合并项。

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解题步骤 2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 2.6.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 = 1$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$1 = 1$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x + y + 6 d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = x + y + 6$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int x d x + \int y d x + \int 6 d x$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x + \int 6 d x$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + \int 6 d x$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + 6 x + C$

解题步骤 5.5

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + 6 x + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y - 3$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)] = x - y - 3$

解题步骤 8.2

求微分。

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解题步骤 8.2.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y - 3$

解题步骤 8.2.2

因为 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y - 3$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [y x]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y - 3$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y - 3$

解题步骤 8.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$0 + x + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y - 3$

解题步骤 8.4

因为 $6 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y - 3$

解题步骤 8.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + x + 0 + \frac{d g}{d y} = x - y - 3$

解题步骤 8.6

化简。

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解题步骤 8.6.1

合并项。

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解题步骤 8.6.1.1

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$x + 0 + \frac{d g}{d y} = x - y - 3$

解题步骤 8.6.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$x + \frac{d g}{d y} = x - y - 3$

解题步骤 8.6.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x = x - y - 3$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = x - y - 3 - x$

解题步骤 9.1.2

合并 $x - y - 3 - x$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = - y - 3 + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $- y - 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - y - 3$

解题步骤 10

求 $- y - 3$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = - y - 3$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y - 3 d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - y - 3 d y$

解题步骤 10.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int - y d y + \int - 3 d y$

解题步骤 10.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - \int y d y + \int - 3 d y$

解题步骤 10.5

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 3 d y$

解题步骤 10.6

应用常数不变法则。

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 3 y + C$

解题步骤 10.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$g (y) = - (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 y + C$

解题步骤 10.8

化简。

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + 6 x - \frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + 6 x - \frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C$

解题步骤 12.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + 6 x - \frac{y^{2}}{2} - 3 y + C$

微积分学 示例

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