微积分学示例

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ 中的每一项除以 $1 + \cos (2 x)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ 中的每一项都除以 $1 + \cos (2 x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

约去 $1 + \cos (2 x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 移到 $1 + \cos (u_{1})$ 的左侧。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

解题步骤 2.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.6

使用倍角公式把 $\cos (x)$ 转换为 $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.7

使用勾股定理将 $1$ 转化为 $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.8.1

从 ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 中减去 ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

解题步骤 2.3.8.2

将 ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 和 ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 相加。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

解题步骤 2.3.8.3

将 $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.9

将自变量乘以 $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.10

合并。

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.11

将 ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.12

将 $\sec (\frac{u}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.13

对 $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ 运用乘积法则。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.14

一的任意次幂都为一。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.15

乘以 $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.15.1

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.15.2

组合 $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 和 $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.16

将分子乘以分母的倒数。

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.17

将 $\sec (\frac{u}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.18

对 $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ 运用乘积法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.19

合并。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

解题步骤 2.3.20

约去 $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.20.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

解题步骤 2.3.20.2

重写表达式。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.21

一的任意次幂都为一。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.22

乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

解题步骤 2.3.23

分离分数。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.24

将 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ 转换成 $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.25

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.25.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.25.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.26

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.27

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.27.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.27.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

解题步骤 2.3.27.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 2.3.27.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.3.27.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.27.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.28

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.28.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

解题步骤 2.3.28.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

解题步骤 2.3.28.3

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (u_{2})$ 的左侧。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.29

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 2.3.30

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.30.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.30.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.30.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.30.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.30.3

将 $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.31

因为 $\tan (u_{2})$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ ，所以 $\sec^{2} (u_{2})$ 的积分为 $\tan (u_{2})$ 。

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.32

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.32.1

使用 $\frac{u_{1}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.32.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.33

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.33.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.33.1.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.33.1.2

重写表达式。

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.33.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \tan (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \tan (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将方程重写为 $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ 。

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

解题步骤 4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$1 + K = 1$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = 1 - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$K = 0$

解题步骤 5

代入 $0$ 替换 $y = \tan (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $K$ 。

$y = \tan (x) + 0$

解题步骤 5.2

将 $\tan (x)$ 和 $0$ 相加。

$y = \tan (x)$

微积分学 示例

微积分学示例