微积分学示例

$(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y^{2} + 3 x y^{3}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x y^{3}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $y^{2} + 3 x y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x (3 y^{2})$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 9 x y^{2}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 y^{2} x + 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 1 - x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $1 - x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y$

解题步骤 2.4

从 $0$ 中减去 $y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $9 y^{2} x + 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$9 y^{2} x + 2 y = - y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$9 y^{2} x + 2 y = - y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $9 y^{2} x + 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $y^{2} + 3 x y^{3}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $y^{2} + 3 x y^{3}$ 替换 $M$ 。

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{- y - (9 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $- y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{- 9 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $- 9 y^{2} x - 3 y$ 中分解出因数 $3 y$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

从 $- 9 y^{2} x$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$\frac{3 y (- 3 y x) - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$\frac{3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5.3

从 $3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.3

从 $y^{2} + 3 x y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

乘以 $1$ 。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $3 x y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $3 y (- 3 y x - 1)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $y^{2} (1 + 3 x y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (- 3 y x - 1)}{y (1 + 3 x y)}$

解题步骤 4.3.5

重新排列项。

$\frac{3 (- 3 x y - 1)}{y (3 x y + 1)}$

解题步骤 4.3.6

约去 $- 3 x y - 1$ 和 $3 x y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $- 3 x y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x y) - 1)}{y (3 x y + 1)}$

解题步骤 4.3.6.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{3 (- (3 x y) - 1 (1))}{y (3 x y + 1)}$

解题步骤 4.3.6.3

从 $- (3 x y) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

解题步骤 4.3.6.4

将 $- (3 x y + 1)$ 重写为 $- 1 (3 x y + 1)$ 。

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

解题步骤 4.3.6.5

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

解题步骤 4.3.6.6

重写表达式。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

解题步骤 4.3.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3}{y}$

解题步骤 4.3.8

代入 $y^{2} + 3 x y^{3}$ 替换 $M$ 。

$- \frac{3}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

解题步骤 5.2

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

解题步骤 5.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

解题步骤 6

在 $(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y^{2} + 3 x y^{3}$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$(y^{2} + 3 x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $y^{2} + 3 x y^{3}$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{y^{2} + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $y^{2} + 3 x y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1

乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $3 x y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.4

约去公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $1 - x y$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $1 - x y$ 乘以 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + \frac{1 - x y}{y^{3}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{1 + 3 x y}{y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = \frac{1 + 3 x y}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将分数分解成多个分数。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{3 x y}{y} d x$

解题步骤 8.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

解题步骤 8.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

约去公因数。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

解题步骤 8.3.2

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int 3 x d x$

解题步骤 8.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int 3 x d x$

解题步骤 8.5

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int 3 x d x$

解题步骤 8.6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 \int x d x$

解题步骤 8.7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 8.8

化简。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 8.9

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.4

因为 $\frac{3}{2} x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{3}{2} x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.6

化简。

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解题步骤 11.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.6.2

合并项。

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解题步骤 11.6.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.6.2.2

将 $- \frac{x}{y^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 11.6.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{1 - x y}{y^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

要将 $\frac{d g}{d y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ 。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - (1 - x y)}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

化简分子。

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解题步骤 12.1.1.4.1

运用分配律。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 \cdot 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.3

乘以 $- (- x y)$ 。

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解题步骤 12.1.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 1 (x y)}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

要将 $- \frac{x}{y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$- \frac{x}{y^{2}} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y^{3}$ 的形式。

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解题步骤 12.1.1.6.1

将 $\frac{x}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$- \frac{x y}{y^{2} y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.6.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 12.1.1.6.2.1

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 12.1.1.6.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x y}{y^{2} y^{1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.6.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x y}{y^{2 + 1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.6.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{x y}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- x y + \frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.8

化简分子。

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解题步骤 12.1.1.8.1

将 $- x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 0}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.8.2

将 $\frac{d g}{d y} y^{3} - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1}{y^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.2

将分子设为等于零。

$\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 = 0$

解题步骤 12.1.3

求解 $\frac{d g}{d y}$ 的方程。

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解题步骤 12.1.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$

解题步骤 12.1.3.2

将 $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ 中的每一项除以 $y^{3}$ 并化简。

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解题步骤 12.1.3.2.1

将 $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ 中的每一项都除以 $y^{3}$ 。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

解题步骤 12.1.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.3.2.2.1

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

解题步骤 12.1.3.2.2.1.2

用 $\frac{d g}{d y}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$

解题步骤 13

求 $\frac{1}{y^{3}}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

解题步骤 13.3

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (y) = \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

解题步骤 13.4

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (y) = \int y^{3 \cdot - 1} d y$

解题步骤 13.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = \int y^{- 3} d y$

解题步骤 13.5

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{- 2} + C$

解题步骤 13.6

化简答案。

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解题步骤 13.6.1

将 $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$ 。

$g (y) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 13.6.2

化简。

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解题步骤 13.6.2.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = - \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C$

解题步骤 13.6.2.2

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$g (y) = - \frac{1}{2 \cdot y^{2}} + C$

解题步骤 13.6.2.3

将 $2$ 乘以 $y^{2}$ 。

$g (y) = - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

解题步骤 15

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

微积分学 示例

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