微积分学示例

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 (2 y) + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.7

因为 $5 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 x y$ 对 $y$ 的导数是 $5 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.9

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.10

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.12

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + \frac{d}{d y} [4])$

解题步骤 1.13

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + 0)$

解题步骤 1.14

将 $4 y + 5 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2)$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.15.2

合并项。

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解题步骤 1.15.2.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.15.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x + 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.15.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x - 4$

解题步骤 1.15.3

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 10 x + 8 y - 4$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x (2 x + 2 y - 1)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 x + 2 y - 1)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 2 x + 2 y - 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [2 x + 2 y - 1] + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $2 x + 2 y - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.8

化简表达式。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 2 + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.8.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot x + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + (2 x + 2 y - 1) \cdot 1$

解题步骤 2.3.10

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.3.10.1

将 $2 x + 2 y - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 x + 2 y - 1$

解题步骤 2.3.10.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 y - 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $10 x + 8 y - 4$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $4 x + 2 y - 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $10 x + 8 y - 4$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{10 x + 8 y - 4 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $4 x + 2 y - 1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x (2 x + 2 y - 1)$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x (2 x + 2 y - 1)$ 替换 $N$ 。

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x) - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $10 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{6 x + 8 y - 4 - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $8 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{6 x + 6 y - 4 + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 x + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.6

从 $6 x + 6 y - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x) + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.6.2

从 $6 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.6.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.6.4

从 $3 (2 x) + 3 (2 y)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.2.6.5

从 $3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.3

约去 $2 x + 2 y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.3

化简。

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

解题步骤 5.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

解题步骤 6

在 $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ 乘以 $x^{3}$ 。

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(2 (2 y^{2}) + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 y^{2} + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$(4 y^{2} + 10 (x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 8) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x y x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.5.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{3 + 1} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.5.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $x (2 x + 2 y - 1)$ 乘以 $x^{3}$ 。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) x^{3} d y = 0$

解题步骤 6.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.7.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x^{1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3 + 1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.7.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{4} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

解题步骤 6.8

运用分配律。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

解题步骤 6.9

化简。

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解题步骤 6.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

解题步骤 6.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

解题步骤 6.9.3

将 $- 1$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

解题步骤 6.10

化简每一项。

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解题步骤 6.10.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.10.1.1

移动 $x$ 。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x \cdot x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

解题步骤 6.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 6.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x^{1} x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

解题步骤 6.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{1 + 4} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

解题步骤 6.10.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

解题步骤 6.10.2

将 $- 1 x^{4}$ 重写为 $- x^{4}$ 。

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 2 x^{5} d y + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

解题步骤 8.2

应用常数不变法则。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

解题步骤 8.3

由于 $2 x^{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2 x^{4}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} \int y d y + \int - x^{4} d y$

解题步骤 8.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{4} d y$

解题步骤 8.5

应用常数不变法则。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{4} y + C$

解题步骤 8.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{4} y + C$

解题步骤 8.7

化简。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{5} y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$2 y (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.3.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$10 y x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.4

计算 $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}]$ 。

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解题步骤 11.4.1

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{4} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$10 y x^{4} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$10 y x^{4} + y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.4.3

将 $4$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.5

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ 。

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解题步骤 11.5.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4} y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.5.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.6

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 11.7

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 10 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $10 x^{4} y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $4 x^{3} y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2}$

解题步骤 12.1.3

在等式两边都加上 $4 x^{3} y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

解题步骤 12.1.4

合并 $4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.4.1

从 $10 x^{4} y$ 中减去 $10 x^{4} y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

解题步骤 12.1.4.2

将 $4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

解题步骤 12.1.4.3

按照 $4 y^{2} x^{3}$ 和 $- 4 x^{3} y^{2}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

解题步骤 12.1.4.4

从 $4 x^{3} y^{2}$ 中减去 $4 x^{3} y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 + 4 x^{3} y$

解题步骤 12.1.4.5

将 $- 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

解题步骤 12.1.4.6

按照 $- 4 y x^{3}$ 和 $4 x^{3} y$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = - 4 x^{3} y + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

解题步骤 12.1.4.7

将 $- 4 x^{3} y$ 和 $4 x^{3} y$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3} + 0$

解题步骤 12.1.4.8

将 $8 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$

解题步骤 13

求 $8 x^{3}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 8 x^{3} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 8 x^{3} d x$

解题步骤 13.3

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$g (x) = 8 \int x^{3} d x$

解题步骤 13.4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$g (x) = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 13.5

化简答案。

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解题步骤 13.5.1

将 $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ 重写为 $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ 。

$g (x) = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 13.5.2

化简。

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解题步骤 13.5.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$g (x) = \frac{8}{4} x^{4} + C$

解题步骤 13.5.2.2

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2.2

约去公因数。

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2.3

重写表达式。

$g (x) = \frac{2}{1} x^{4} + C$

解题步骤 13.5.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$g (x) = 2 x^{4} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + 2 x^{4} + C$

微积分学 示例

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