微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = y + 5 t$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$\frac{d y}{d t} - y = 5 t$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d t}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- t + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- t}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- t}$ 。

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} (5 t)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} (5 t)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$

解题步骤 3.4

将 $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$ 中的因式重新排序。

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = 5 t e^{- t}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = 5 t e^{- t}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int 5 t e^{- t} d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- t} y = \int 5 t e^{- t} d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{- t} y = 5 \int t e^{- t} d t$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{- t}$ 。

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t)$

解题步骤 7.3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t)$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t)$

解题步骤 7.4.2

将 $\int e^{- t} d t$ 乘以 $1$ 。

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t)$

解题步骤 7.5

使 $u = - t$ 。然后使 $d u = - d t$ ，以便 $- d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = - t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $- t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 7.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$

解题步骤 7.8

将 $5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$ 重写为 $5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$ 。

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$

解题步骤 7.9

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$

解题步骤 8

将 $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ 中的每一项除以 $e^{- t}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{- t}$ 。

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- t}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.2

化简分子。

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解题步骤 8.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{5 (- t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 5 (t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{- 5 t e^{- t} - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 8.3.3.1

从 $- 5 t e^{- t}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.3.2

从 $- 5 e^{- t}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.3.3

从 $- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.3.4

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.3.5

从 $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 8.3.3.6.1

将 $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ 重写为 $- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ 。

$y = \frac{- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

解题步骤 8.3.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C}{e^{- t}}$

微积分学 示例

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