微积分学示例

$x v d v - (1 + v^{2}) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $(1 + v^{2}) d x$ 。

$x v d v = (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x (1 + v^{2})}$ 。

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x v$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x (v)) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + v^{2}} v d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{1 + v^{2}}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 3.3

约去 $1 + v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x (1 + v^{2})$ 中分解出因数 $1 + v^{2}$ 。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{v}{1 + v^{2}} d v = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u = 1 + v^{2}$ 。然后使 $d u = 2 v d v$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = v d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u = 1 + v^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $1 + v^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d v} [1 + v^{2}]$

解题步骤 4.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + v^{2}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ 。

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 4.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 4.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 v$

解题步骤 4.2.1.1.5

将 $0$ 和 $2 v$ 相加。

$2 v$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

使用 $1 + v^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $v$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |))$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| 1 + v^{2} |)$ 。

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

解题步骤 5.4

化简左边。

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解题步骤 5.4.1

化简 $\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

解题步骤 5.4.1.1.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

解题步骤 5.4.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

解题步骤 5.5

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

解题步骤 5.6

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 C} = \frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}$

解题步骤 5.7

求解 $v$ 。

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解题步骤 5.7.1

将方程重写为 $\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ 。

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

解题步骤 5.7.2

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

解题步骤 5.7.3

化简。

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解题步骤 5.7.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.7.3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

解题步骤 5.7.3.1.1.2

重写表达式。

$| 1 + v^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

解题步骤 5.7.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.7.3.2.1

将 $e^{2 C} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$| 1 + v^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

解题步骤 5.7.4

求解 $v$ 。

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解题步骤 5.7.4.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 + v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

解题步骤 5.7.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

解题步骤 5.7.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

解题步骤 6.2

用加号或减号合并常数。

$v = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

微积分学 示例

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