微积分学示例

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x y d x$ 。

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $\sqrt{1 + x^{2}} y$ 中分解出因数 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

解题步骤 3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $\sqrt{1 + x^{2}} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

解题步骤 3.3.3

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

解题步骤 3.3.4

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

解题步骤 3.3.5

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

解题步骤 3.6

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

解题步骤 3.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.7.1

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

解题步骤 3.7.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

解题步骤 3.7.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

解题步骤 3.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

解题步骤 3.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

解题步骤 3.7.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

解题步骤 3.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

解题步骤 3.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

解题步骤 3.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

解题步骤 3.7.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

解题步骤 3.7.6.5

化简。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3.2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4.3.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{u}}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.3.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

解题步骤 4.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

解题步骤 4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

解题步骤 4.3.5.2

化简。

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解题步骤 4.3.5.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $u^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.3.5.2.2

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.2.1

将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.2.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.3.5.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.3.5.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.3.5.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

解题步骤 4.3.5.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.3.5.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.5.3.1

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3.5.3.2

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.5.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.5.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2

化简。

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解题步骤 4.3.7.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.7.2.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.3.8

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 5.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

解题步骤 5.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ 。

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 5.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

将 $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ 重写为 $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

解题步骤 6.2

将 $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

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