微积分学示例

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + \frac{2}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

解题步骤 3.4

因为 $\frac{2}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{y}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 = 1$

解题步骤 4.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$1 = 1$ 是一个恒等式。

解题步骤 5

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y d x$

解题步骤 6

对 $M (x, y) = y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 6.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = y x + C$

解题步骤 7

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y x + g (y)$

解题步骤 8

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 9

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 9.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 9.2

根据加法法则， $y x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 9.3

计算 $\frac{d}{d y} [y x]$ 。

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解题步骤 9.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 9.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 9.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 9.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 9.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

解题步骤 10

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 10.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

解题步骤 10.1.2

合并 $x + \frac{2}{y} - x$ 中相反的项。

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解题步骤 10.1.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

解题步骤 10.1.2.2

将 $\frac{2}{y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

解题步骤 11

求 $\frac{2}{y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 11.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

解题步骤 11.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

解题步骤 11.3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 11.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

解题步骤 11.5

化简。

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

解题步骤 12

在 $f (x, y) = y x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

解题步骤 13

化简每一项。

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解题步骤 13.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

解题步骤 13.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$

微积分学 示例

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