微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\cos (y) + e^{y}$ 。

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

解题步骤 1.2

约去 $\cos (y) + e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{2} - 2 x + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

$\cos (y)$ 对 $y$ 的积分为 $\sin (y)$ 。

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.3

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.5

重新排序项。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

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解题步骤 2.3.7.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 2 x^{3} - x^{2} + x + C_{7}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y} + \sin (y) = 2 x^{3} - x^{2} + x + K$

微积分学 示例

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