微积分学示例

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x (t^{2} - 1) d t$ 。

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ 。

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $t^{3} - 3 t$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(t^{3} - 3 t) x$ 中分解出因数 $t^{3} - 3 t$ 。

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3.3.2

从 $(t^{3} - 3 t) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

解题步骤 3.4

从 $t^{3} - 3 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

解题步骤 3.4.2

从 $- 3 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

解题步骤 3.4.3

从 $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

解题步骤 3.7

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

将 $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

解题步骤 3.7.2

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

解题步骤 3.7.3

约去公因数。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

解题步骤 3.7.4

重写表达式。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ 和 $t$ 。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

解题步骤 3.9

乘以 $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

解题步骤 3.9.2

将 $\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

解题步骤 3.11

要将 $- \frac{t}{t^{2} - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

解题步骤 3.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(t^{2} - 3) t$ 的形式。

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解题步骤 3.12.1

将 $\frac{t}{t^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

解题步骤 3.12.2

重新排序 $(t^{2} - 3) t$ 的因式。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

解题步骤 3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 3.14

化简分子。

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解题步骤 3.14.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 3.14.2

将 $t \cdot t$ 重写为 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 3.14.3

将 $- t^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 3.14.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.3.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.3.1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $t (t^{2} - 3)$ 。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1.3.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.3.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.3.1.2

重写表达式。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.3.2

约去 $t^{2} - 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.3.2.2

用 $(1 + t) (1 - t)$ 除以 $1$ 。

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 + t) (1 - t)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.4.1

运用分配律。

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.4.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.4.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1.5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5.1.2

将 $- t$ 乘以 $1$ 。

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5.1.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5.1.5

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.5.1.5.1

移动 $t$ 。

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5.1.5.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5.2

将 $- t$ 和 $t$ 相加。

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.6

将 $1$ 和 $- t^{2}$ 重新排序。

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1.7.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.7.1.1

约去公因数。

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.7.1.2

用 $A (t^{2} - 3)$ 除以 $1$ 。

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.7.2

运用分配律。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.7.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.7.4

约去 $t^{2} - 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.7.4.1

约去公因数。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.1.7.4.2

用 $(B t + C) (t)$ 除以 $1$ 。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

解题步骤 4.3.1.1.7.5

运用分配律。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

解题步骤 4.3.1.1.7.6

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.7.6.1

移动 $t$ 。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

解题步骤 4.3.1.1.7.6.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

解题步骤 4.3.1.1.8

移动 $- 3 A$ 。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

解题步骤 4.3.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.3.1.2.1

使方程两边 $t^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2.2

使方程两边 $t$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 4.3.1.2.3

使方程两边不含 $t$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 3 A$

解题步骤 4.3.1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

解题步骤 4.3.1.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.1.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

解题步骤 4.3.1.3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.2.1

将方程重写为 $- 3 A = 1$ 。

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.3.2.2

将 $- 3 A = 1$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1.3.2.2.1

将 $- 3 A = 1$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.3.2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.3.2.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.3.1

使用 $- \frac{1}{3}$ 替换 $- 1 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.1.3.3.2.1

去掉圆括号。

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4

在 $- 1 = - \frac{1}{3} + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.4.1

将方程重写为 $- \frac{1}{3} + B = - 1$ 。

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1.3.4.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{3}$ 。

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4.2.4

在公分母上合并分子。

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.1.3.4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4.2.5.2

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.4.2.6

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.5

求解方程组。

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

解题步骤 4.3.1.3.6

列出所有解。

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

解题步骤 4.3.1.4

将 $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.5

化简。

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解题步骤 4.3.1.5.1

去掉圆括号。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.5.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.1.5.2.1

组合 $t$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.5.2.2

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.5.2.3

将 $- \frac{2 t}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.1.5.4

将 $\frac{1}{t^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{2 t}{3}$ 。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

解题步骤 4.3.1.5.5

将 $3$ 移到 $t^{2} - 3$ 的左侧。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

解题步骤 4.3.1.5.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

解题步骤 4.3.1.5.7

将 $\frac{1}{t}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

解题步骤 4.3.1.5.8

将 $3$ 移到 $t$ 的左侧。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.3.3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.3.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.3.5

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.3.6

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

解题步骤 4.3.7

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

解题步骤 4.3.8

使 $u = t^{2} - 3$ 。然后使 $d u = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.8.1

设 $u = t^{2} - 3$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 4.3.8.1.1

对 $t^{2} - 3$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

解题步骤 4.3.8.1.2

根据加法法则， $t^{2} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 4.3.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 4.3.8.1.4

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 t + 0$

解题步骤 4.3.8.1.5

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$2 t$

解题步骤 4.3.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4.3.9

化简。

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解题步骤 4.3.9.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.3.9.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 4.3.10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 4.3.11

化简。

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解题步骤 4.3.11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.11.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.11.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.11.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.11.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.11.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.11.3.2.2

约去公因数。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.11.3.2.3

重写表达式。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.12

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

解题步骤 4.3.13

化简。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

解题步骤 4.3.14

使用 $t^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

化简右边。

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解题步骤 5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.1

组合 $\ln (| t |)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

解题步骤 5.1.1.2

组合 $\ln (| t^{2} - 3 |)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

解题步骤 5.2

将 $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3$ 移到 $\ln (| x |)$ 的左侧。

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

将 $- \frac{\ln (| t |)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

约去公因数。

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.1.3

重写表达式。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

将 $- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.3

将 $3$ 移到 $C$ 的左侧。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

解题步骤 5.3

化简左边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x |)$ 。

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

解题步骤 5.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

解题步骤 5.5

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

解题步骤 5.6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

解题步骤 5.7

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

解题步骤 5.8

运用分配律。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

解题步骤 5.9

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.9.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

解题步骤 5.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

解题步骤 5.9.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

解题步骤 5.10

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

解题步骤 5.11

使用对数的定义将 $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

解题步骤 5.12

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.12.1

将方程重写为 ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ 。

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

解题步骤 5.12.2

将 ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ 中的每一项除以 $| t^{3} - 3 t |$ 并化简。

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解题步骤 5.12.2.1

将 ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ 中的每一项都除以 $| t^{3} - 3 t |$ 。

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

解题步骤 5.12.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.12.2.2.1

约去 $| t^{3} - 3 t |$ 的公因数。

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解题步骤 5.12.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

解题步骤 5.12.2.2.1.2

用 ${| x |}^{3}$ 除以 $1$ 。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

解题步骤 5.12.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.12.2.3.1

化简分母。

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解题步骤 5.12.2.3.1.1

从 $t^{3} - 3 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 5.12.2.3.1.1.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.1.2

从 $- 3 t$ 中分解出因数 $t$ 。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.1.3

从 $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ 中分解出因数 $t$ 。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.2

运用分配律。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 5.12.2.3.1.3.1

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 5.12.2.3.1.3.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.4

将 $- 3$ 移到 $t$ 的左侧。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.5

从 $t^{3} - 3 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 5.12.2.3.1.5.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.5.2

从 $- 3 t$ 中分解出因数 $t$ 。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

解题步骤 5.12.2.3.1.5.3

从 $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ 中分解出因数 $t$ 。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

解题步骤 5.12.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ 。

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解题步骤 5.12.4.1

将 $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ 。

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

解题步骤 5.12.4.2

化简分子。

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解题步骤 5.12.4.2.1

将 $e^{3 C}$ 重写为 ${(e^{C})}^{3}$ 。

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

解题步骤 5.12.4.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

解题步骤 5.12.4.3

将 $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ 。

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

解题步骤 5.12.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.12.4.4.1

将 $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ 。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

解题步骤 5.12.4.4.2

对 $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

解题步骤 5.12.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.12.4.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

解题步骤 5.12.4.4.5

将 ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ 重写为 $| t (t^{2} - 3) |$ 。

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解题步骤 5.12.4.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ 重写成 ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ 。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.12.4.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.12.4.4.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.12.4.4.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.12.4.4.5.4.1

约去公因数。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.12.4.4.5.4.2

重写表达式。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

解题步骤 5.12.4.4.5.5

化简。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.4.5

将 ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ 。

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.5

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6

化简分子。

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解题步骤 5.12.6.1

运用分配律。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 5.12.6.2.1

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 5.12.6.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.3

将 $- 3$ 移到 $t$ 的左侧。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.4

去掉 ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.5

将 ${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ 重写为 $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.6

使用 FOIL 方法展开 $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ 。

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解题步骤 5.12.6.6.1

运用分配律。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.6.2

运用分配律。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.6.3

运用分配律。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.12.6.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.12.6.7.1.1

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 5.12.6.7.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.1.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.3

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.12.6.7.1.3.1

移动 $t$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.3.2

将 $t$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 5.12.6.7.1.3.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 5.12.6.7.1.4.1

移动 $t^{3}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.4.2

将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.12.6.7.1.4.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.6

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.12.6.7.1.6.1

移动 $t$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.6.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.1.7

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.7.2

从 $- 3 t^{4}$ 中减去 $3 t^{4}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.8

从 $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

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解题步骤 5.12.6.8.1

从 $t^{6}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.8.2

从 $- 6 t^{4}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.8.3

从 $9 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.8.4

从 $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.8.5

从 $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.9

将 $t^{4}$ 重写为 ${(t^{2})}^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.10

使 $u = t^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $t^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.11

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.12.6.11.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.11.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

解题步骤 5.12.6.11.3

重写多项式。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.11.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 3$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 5.12.6.12

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

微积分学 示例

微积分学示例