微积分学示例

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(e^{x} + 1) d x$ 。

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{x}}$ 。

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.4

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{e^{x}}$ 中前置负号移到分子中。

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 4.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.4.2

化简。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.4.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 4.3.4.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.4.2.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

解题步骤 4.3.5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.3.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

解题步骤 4.3.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

解题步骤 4.3.9

化简。

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

解题步骤 4.3.10

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - x + e^{- x} + K$

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