微积分学示例

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $t$ 。

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

解题步骤 1.1.2

将 $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ 中的每一项除以 $t^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ 中的每一项都除以 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

约去 $t$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1.1

从 $t y$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1.2.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

约去 $t$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2

从 $t^{1}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.3

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.3.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.2

要将 $\frac{y}{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $t^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{y}{t}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.3.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.3.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

解题步骤 1.2.5

要将 $\frac{1}{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

解题步骤 1.2.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $t^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $\frac{1}{t}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

解题步骤 1.2.6.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

解题步骤 1.2.6.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

解题步骤 1.2.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

解题步骤 1.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

解题步骤 1.2.8

化简分子。

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解题步骤 1.2.8.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.8.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

解题步骤 1.2.8.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

解题步骤 1.2.8.2

通过因式分解出最大公因数 $y + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 1}$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

解题步骤 1.5

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y + 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.2

乘以 $(1 + t) t^{- 2}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $t^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.3.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $t$ 乘以 $t^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

解题步骤 2.3.3.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.6

$t^{- 1}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.7

化简。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

解题步骤 3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ 。

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 $| t |$ 。

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $| t |$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ 中的因式重新排序。

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

解题步骤 3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

解题步骤 3.5.4.3

将 $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ 中的因式重新排序。

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

解题步骤 3.5.4.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- \frac{1}{t} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{1}{t}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

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