微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{- 3} + 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (x^{- 3} + 2) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{- 3} + 2 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{- 3} + 2 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x^{- 3} d x + \int 2 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + \int 2 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

化简。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 2 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + 2 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.4.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$y + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 2 x - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

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