微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 2 x y - 6 x = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $2 x y$ 。

$\frac{d y}{d x} - 6 x = 2 x y$

解题步骤 1.1.2

在等式两边都加上 $6 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 6 x$

解题步骤 1.2

从 $2 x y + 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 6 x$

解题步骤 1.2.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 2 x (3)$

解题步骤 1.2.3

从 $2 x (y) + 2 x (3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y + 3)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 3}$ 。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (2 x (y + 3))$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y + 3} (x (y + 3))$

解题步骤 1.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y + 3}$ 。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} (x (y + 3))$

解题步骤 1.4.3

约去 $y + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $x (y + 3)$ 中分解出因数 $y + 3$ 。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) x)$

解题步骤 1.4.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) x)$

解题步骤 1.4.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y + 3} d y = 2 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y + 3$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y + 3$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 3$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 3 |) = x^{2} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{x^{2} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y + 3 |) = x^{2} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x^{2} + C} = | y + 3 |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y + 3 | = e^{x^{2} + C}$ 。

$| y + 3 | = e^{x^{2} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 3 = \pm e^{x^{2} + C}$

解题步骤 3.3.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = \pm e^{x^{2} + C} - 3$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x^{2} + C}$ 重写为 $e^{x^{2}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C} - 3$

解题步骤 4.2

将 $e^{x^{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}} - 3$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{x^{2}} - 3$

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