微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 7$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (5 + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = 5 x + \ln (| x |) + C_{4}$

$y + C_{1} = 5 x + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = 5 x + \ln (| x |) + C$

$y = 5 x + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $7$ 代入 $y$ ，在 $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$7 = 5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$ 。

$5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$

解题步骤 4.2

化简 $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \ln (| 1 |) + C = 7$

解题步骤 4.2.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$5 + \ln (1) + C = 7$

解题步骤 4.2.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$5 + 0 + C = 7$

$5 + 0 + C = 7$

解题步骤 4.2.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5 + C = 7$

$5 + C = 7$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$C = 7 - 5$

解题步骤 4.3.2

从 $7$ 中减去 $5$ 。

$C = 2$

$C = 2$

$C = 2$

解题步骤 5

代入 $2$ 替换 $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $2$ 替换 $C$ 。

$y = 5 x + \ln (| x |) + 2$

$y = 5 x + \ln (| x |) + 2$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$