微积分学示例

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$

解题步骤 1

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 1.1

将 $2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

解题步骤 1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

解题步骤 1.4

从 $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{3}$ 的指数。

$v = y^{- 2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 5

取 $v^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{- \frac{1}{2}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 5.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

解题步骤 5.5

化简。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.6.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6.2

化简表达式。

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解题步骤 5.6.2.1

将 $v^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 5.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 5.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.7.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.10

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.11

化简分子。

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解题步骤 5.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.12

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 5.15

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

解题步骤 5.16

组合 $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

解题步骤 5.17

将 $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

解题步骤 5.18

将 $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

解题步骤 5.19

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 5.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.21

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.22

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 5.23

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的每一项乘以 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 以消去分数。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的每一项乘以 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1

约去 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.2

从 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.1.4.1

移动 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.4.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.5

化简 $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2))$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x \cdot 2} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.8

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2 \cdot x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.9

组合 $v$ 和 $\frac{1}{2 x}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.10.1

将 $- \frac{v}{2 x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10.3

从 $- 1 \cdot (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10.4

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.10.5

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} \cdot - 1 = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.11

组合 $\frac{- v}{x}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v \cdot - 1}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1 v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.2.1.13

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 7.1.1.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 1 \cdot 2 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

从 $- 1 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - (5 x^{3}) {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 7.1.1.3.4.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2

将 ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.4.2.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.5

通过指数相加将 $v^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.5.1

移动 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 7.1.1.3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3 - 3}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.5.4

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{0}{2}}$

解题步骤 7.1.1.3.5.5

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{0}$

解题步骤 7.1.1.3.6

化简 $- 5 x^{3} v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3}$

解题步骤 7.1.2

从 $\frac{v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - 5 x^{3}$

解题步骤 7.1.3

将 $v$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - 5 x^{3}$

解题步骤 7.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x)}$

解题步骤 7.2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x$

解题步骤 7.3

每一项乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

每一项乘以 $x$ 。

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- 5 x^{3})$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

解题步骤 7.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

解题步骤 7.3.2.2.2

重写表达式。

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- 5 x^{3})$

解题步骤 7.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x \cdot x^{3}$

解题步骤 7.3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.3.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x)$

解题步骤 7.3.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x^{1})$

解题步骤 7.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{3 + 1}$

解题步骤 7.3.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{4}$

解题步骤 7.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x v] = - 5 x^{4}$

解题步骤 7.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - 5 x^{4} d x$

解题步骤 7.6

对左边积分。

$x v = \int - 5 x^{4} d x$

解题步骤 7.7

对右边积分。

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解题步骤 7.7.1

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$x v = - 5 \int x^{4} d x$

解题步骤 7.7.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$x v = - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 7.7.3

化简答案。

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解题步骤 7.7.3.1

将 $- 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ 重写为 $- 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ 。

$x v = - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

解题步骤 7.7.3.2

化简。

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解题步骤 7.7.3.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$x v = \frac{- 5}{5} x^{5} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2

约去 $- 5$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.3.2.2.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5} x^{5} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.7.3.2.2.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} x^{5} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2.2

约去公因数。

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} x^{5} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2.3

重写表达式。

$x v = \frac{- 1}{1} x^{5} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$x v = - x^{5} + C$

解题步骤 7.8

将 $x v = - x^{5} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $x v = - x^{5} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.2

化简左边。

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解题步骤 7.8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.3

化简右边。

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解题步骤 7.8.3.1

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.3.1.1

从 $- x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.8.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.3.1.2.3

约去公因数。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.3.1.2.4

重写表达式。

$v = \frac{- x^{4}}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.8.3.1.2.5

用 $- x^{4}$ 除以 $1$ 。

$v = - x^{4} + \frac{C}{x}$

解题步骤 8

代入 $y^{- 2}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 2} = - x^{4} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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