微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 \sqrt{x}}$ , $y (16) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{12}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{12}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $\frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $16$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \frac{1}{6} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{6} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

解题步骤 4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{6} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{6} \cdot 4^{1} + K = 0$

解题步骤 4.2.4

计算指数。

$\frac{1}{6} \cdot 4 + K = 0$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 + K = 0$

解题步骤 4.2.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) + K = 0$

解题步骤 4.2.5.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) + K = 0$

解题步骤 4.2.5.4

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot 2 + K = 0$

解题步骤 4.2.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{3} + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $\frac{2}{3}$ 。

$K = - \frac{2}{3}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{2}{3}$ 替换 $y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{2}{3}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{2}{3}$

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