微积分学示例

$(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ 中的每一项除以 $3 + x^{12}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ 中的每一项都除以 $3 + x^{12}$ 。

$\frac{(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{3 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $3 + x^{12}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{3 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{3 + x^{12}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{x^{11}}{y}$ 乘以 $\frac{1}{3 + x^{12}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{11}}{3 + x^{12}} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{x^{11}}{3 + x^{12}}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{(3 + x^{12}) y}$

解题步骤 1.4.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $(3 + x^{12}) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$y d y = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{12}$ 重写为 ${(x^{12})}^{1}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{3 + {(x^{12})}^{1}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{1} = x^{12}$ 。然后使 $d u_{1} = 12 x^{11} d x$ ，以便 $\frac{1}{12} d u_{1} = x^{11} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{1} = x^{12}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x^{12}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{12}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 12$ 。

$12 x^{11}$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 + u_{1}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $\frac{1}{3 + u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{12}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(3 + u_{1}) \cdot 12} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.3

将 $12$ 移到 $3 + u_{1}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{12 (3 + u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{12}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{12}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{3 + u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5

使 $u_{2} = 3 + u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.5.1

设 $u_{2} = 3 + u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $3 + u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [3 + u_{1}]$

解题步骤 2.3.5.1.2

根据加法法则， $3 + u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 2.3.5.1.3

因为 $3$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $3$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 2.3.5.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.3.5.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.8.1

使用 $3 + u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + u_{1} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8.2

使用 $x^{12}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $\ln (| 3 + x^{12} |)$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + C \cdot \frac{12}{12})$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $C$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + \frac{C \cdot 12}{12})$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{12}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 (6)}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{6}$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $12$ 移到 $C$ 的左侧。

$y^{2} = \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 3.4.3.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 3.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.3.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 3.4.3.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 3.4.4

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 3.4.5

将 $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + C)}}{6}$

微积分学 示例

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