微积分学示例

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

解题步骤 1.2.2

因为 $\tan (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\tan (x)$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- \sin (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \sin (x) \sin (y)$ 对 $y$ 的导数是 $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\cos (y)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $0$ 中减去 $\sin (x) \cos (y)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

解题步骤 1.4.2

重新排序 $- \sin (x) \cos (y)$ 的因式。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

解题步骤 2.2

因为 $\cos (y)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\cos (x) \cos (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

解题步骤 2.4

重新排序 $\cos (y) (- \sin (x))$ 的因式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- \cos (y) \sin (x)$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- \cos (y) \sin (x)$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $\cos (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\cos (x)$ 移到积分外。

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

解题步骤 5.2

$\cos (y)$ 对 $y$ 的积分为 $\sin (y)$ 。

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

解题步骤 5.3

化简。

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $\sin (y)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\cos (x) \sin (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 8.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简右边。

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解题步骤 9.1.1.1

化简 $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ 。

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解题步骤 9.1.1.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 9.1.1.1.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 9.1.2

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.2.1

在等式两边都加上 $\sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

解题步骤 9.1.2.2

合并 $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.2.1

将 $- \sin (x) \sin (y)$ 和 $\sin (x) \sin (y)$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

解题步骤 9.1.2.2.2

将 $\tan (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

解题步骤 9.1.2.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.1.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

解题步骤 10

求 $\tan (x)$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \tan (x) d x$

解题步骤 10.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$

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