微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $2 y - 1$ 。

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

解题步骤 1.2

约去 $2 y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

解题步骤 3.2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

解题步骤 3.2.3

从等式两边同时减去 $K$ 。

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

解题步骤 3.3

全部乘以最小公分母 $3$ ，然后化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $- \frac{x^{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.2.2

约去公因数。

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.2.3

重写表达式。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

解题步骤 3.3.3

移动 $- 15 x$ 。

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

解题步骤 3.3.4

移动 $- 3 y$ 。

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

解题步骤 3.3.5

将 $3 y^{2}$ 和 $- x^{3}$ 重新排序。

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 3$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.4

化简。

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解题步骤 3.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $- 3$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.4.3

将 $- 15$ 乘以 $- 12$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5

从 $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.6.1.5.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5.2

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5.3

从 $36 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5.4

从 $180 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5.5

从 $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5.6

从 $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.1.5.7

从 $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(0, 11)$ 中为正，所以只考虑用 $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ 来求 $K$ 。将 $0$ 代入 $x$ ，将 $11$ 代入 $y$ 。

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

解题步骤 6.2

两边同时乘以 $6$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

化简 $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.3.1.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.1.1.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.1.1.1.3

将 $60$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.1.1.1.4

将 $3 + 0 + K$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.1.1.1.5

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.1.1.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.1.1.2.1.2

重写表达式。

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

将 $3$ 和 $K$ 重新排序。

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $11$ 乘以 $6$ 。

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

解题步骤 6.4

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.4.1

将所有不包含 $\sqrt{3 (K + 3)}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.1.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

解题步骤 6.4.1.2

从 $66$ 中减去 $3$ 。

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

解题步骤 6.4.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 (K + 3)}$ 重写成 ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.3.2.1

化简 ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.3.2.1.1

将 ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.4.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3.2.1.2

运用分配律。

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3.2.1.3

乘。

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解题步骤 6.4.3.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3.2.1.3.2

化简。

$3 K + 9 = 63^{2}$

解题步骤 6.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.3.1

对 $63$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 K + 9 = 3969$

解题步骤 6.4.4

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.4.4.1

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.4.1.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$3 K = 3969 - 9$

解题步骤 6.4.4.1.2

从 $3969$ 中减去 $9$ 。

$3 K = 3960$

解题步骤 6.4.4.2

将 $3 K = 3960$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.4.4.2.1

将 $3 K = 3960$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

解题步骤 6.4.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.4.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

解题步骤 6.4.4.2.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{3960}{3}$

解题步骤 6.4.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.4.2.3.1

用 $3960$ 除以 $3$ 。

$K = 1320$

解题步骤 7

代入 $1320$ 替换 $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $1320$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

将 $3$ 和 $1320$ 相加。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

解题步骤 7.2.2

重新排序项。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$

微积分学 示例

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