微积分学示例

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{4}$ 。

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{5}}{5}$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

解题步骤 5.4.2

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

解题步骤 5.4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 5.4.2.2.3

约去公因数。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 5.4.2.2.4

重写表达式。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

解题步骤 5.4.2.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

解题步骤 5.5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 5.6

化简答案。

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解题步骤 5.6.1

将 $\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ 重写为 $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ 。

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

解题步骤 5.6.2

化简。

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解题步骤 5.6.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (x)$ 。

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

解题步骤 5.6.2.2

组合 $\frac{\ln (x)}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

解题步骤 5.6.2.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

解题步骤 5.6.2.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

解题步骤 6.1.2

去掉圆括号。

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

解题步骤 6.2

将 $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1.1

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1

从 $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2.5

用 $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.2

乘以 $\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

将 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{5}$ 重新排序。

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{5} \ln (x)$ 。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.4.1

将 $- \frac{x^{5}}{25}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.4.2

从 $- x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.4.3

约去公因数。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.4.4

重写表达式。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ 中的因式重新排序。

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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