微积分学示例

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

解题步骤 1

假设所有解都为 $x = e^{r t}$ 形式。

解题步骤 2

求 $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

解题步骤 2.4

去掉圆括号。

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

解题步骤 2.5

因式分解出 $e^{r t}$ 。

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解题步骤 2.5.1

从 $r^{2} e^{r t}$ 中分解出因数 $e^{r t}$ 。

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

解题步骤 2.5.2

从 $4 r e^{r t}$ 中分解出因数 $e^{r t}$ 。

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

解题步骤 2.5.3

从 $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ 中分解出因数 $e^{r t}$ 。

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

解题步骤 2.5.4

从 $5 e^{r t}$ 中分解出因数 $e^{r t}$ 。

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

解题步骤 2.5.5

从 $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ 中分解出因数 $e^{r t}$ 。

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

解题步骤 2.6

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r t}$ 。

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

解题步骤 3.2

从 $5$ 中减去 $10$ 。

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $r^{2} + 4 r - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $4$ 。

$- 1, 5$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(r - 1) (r + 5) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

解题步骤 3.5

将 $r - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $r - 1$ 设为等于 $0$ 。

$r - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$r = 1$

解题步骤 3.6

将 $r + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $r + 5$ 设为等于 $0$ 。

$r + 5 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$r = - 5$

解题步骤 3.7

最终解为使 $(r - 1) (r + 5) = 0$ 成立的所有值。

$r = 1, - 5$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

解题步骤 6

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$

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